已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四点．（1）求抛物线E的方程；（2）探究|AC|•|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点F作一条直线m与直线l垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值．","title_text":"已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四点．（1）求抛物线E的方程；（2）探究|AC|•|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点F作一条直线m与直线l垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值．

更新时间：2022-08-18 07:30:31

导读【解答】解：（1）抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，∴根据抛物线定义得4+p2=5，解得...

【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，∴根据抛物线定义得4+p2=5，解得p=2，∴抛物线方程x2=4y．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，由抛物线定义得：|AF|=y1+1|BF|=y2+1，∴|AC|•|BD|=y1y2，设直线AB方程：y=kx+1，与抛物线方程联立得：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，∴|AC|•|BD|=y1y2=x124•x224=1为定值．（3）设直线AB方程：y=kx+1，与抛物线方程联立得：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4，由弦长公式|AB|=1+k2|x1-x2|=4(1+k2)，同理直线MN方程：y=-1kx+1，与抛物线方程联立得：x2+4kx-4=0，由弦长公式得|MN|=4(1+1k2)，所以四边形AMBN的面积S=12|AB||MN|=8(1+k2)(1+1k2)=8(2+k2+1k2)≥32，当k=±1时，取“=”．故四边形AMBN面积最小值为32．

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