【定积分和不定积分的公式】在微积分中，定积分与不定积分是两个核心概念，它们分别用于计算函数的面积和求原函数。尽管两者有密切联系，但它们的定义和应用有所不同。以下是对定积分和不定积分公式的总结，并以表格形式进行对比。
一、基本概念
- 不定积分：也称为反导数，表示一个函数的所有原函数的集合。其结果是一个带有任意常数的表达式。
- 定积分：表示函数在某个区间上的累积值，结果是一个具体的数值，通常用来计算面积、体积等。
二、主要公式
1. 不定积分的基本公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
2. 定积分的基本公式
定积分的计算一般使用牛顿-莱布尼茨公式：
$$
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
三、常见函数的定积分表
| 函数 $ f(x) $ | 定积分 $ \int_a^b f(x)\,dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln \left | \frac{b}{a}\right | $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \left( \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \arctan\left(\frac{a}{a}\right) \right) $ |
四、总结
不定积分和定积分虽然都涉及“积分”这一概念，但它们的应用场景不同。不定积分关注的是函数的原函数，而定积分则用于计算函数在特定区间上的总变化量或面积。
通过掌握这些基本公式，可以更高效地解决实际问题，如物理中的运动分析、几何中的面积计算等。
附：常用积分技巧
- 分部积分法：$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $
- 换元积分法：令 $ x = g(t) $，则 $ dx = g'(t)\,dt $
- 对称性：奇偶函数在对称区间上的积分可简化计算
以上内容为原创整理，适用于初学者或复习者参考学习。