【随机变量的方差公式】在概率论与统计学中，方差是一个重要的概念，用于衡量随机变量与其期望值之间的偏离程度。方差越大，说明数据分布越分散；方差越小，说明数据越集中。本文将总结随机变量的方差公式，并通过表格形式清晰展示其计算方法。
一、方差的基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其数学期望（均值）为 $ E(X) $，则 $ X $ 的方差记作 $ \text{Var}(X) $ 或 $ \sigma^2 $，定义如下：
$$
\text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right
$$
这个公式表示的是随机变量 $ X $ 与其期望值之差的平方的期望值。
二、方差的等价表达式
根据方差的定义，可以推导出另一种常用的表达方式：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
这个公式在实际计算中更为方便，尤其是在已知 $ E(X) $ 和 $ E(X^2) $ 的情况下。
三、离散型随机变量的方差公式
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则方差计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i - \left( \sum_{i=1}^{n} x_i p_i \right)^2
$$
四、连续型随机变量的方差公式
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则方差计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
或等价地：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx - \left( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \right)^2
$$
五、常见分布的方差公式（简表）
| 随机变量类型 | 分布名称 | 数学期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 离散 | 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 离散 | 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 离散 | 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 连续 | 均匀分布 | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 连续 | 正态分布 | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 连续 | 指数分布 | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
六、总结
方差是衡量随机变量波动性的关键指标，无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的公式进行计算。掌握这些公式有助于更好地理解数据的分布特征，并在实际问题中进行有效的统计分析。
通过上述表格可以看出，不同分布的方差具有不同的表达形式，但它们都基于基本的方差定义：即随机变量与其均值的平方偏差的期望值。